2017年陕西师范大学旅游与环境学院602高等数学(Ⅰ)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点, 最小值。
2． 讨论函数
【答案】
在分段点x=-1处，因为
所以x=-1为第一类间断点（跳跃间断点）。 在分断点x=1处，因为
所以x=l为第一类间断点（跳跃间断点）。 3． 设
【答案】
，而
都是可微函数，求
。
的连续性，若有间断点，判断其类型。
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
4． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
在（﹣∞, +∞）上收敛。
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
，取
（不妨设ε<1）
取N=1，则当n>N时，就有
则当n>N时，
（3）该级数的各项
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
即级数在
上一致收敛。
有
5． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （ 6． 设
【答案】函数在x=1处无定义。 因为
所以x=1为f （x ）的第二类间断点。 又x=0为函数的分段点 因为
所以x=0为f （x ）的第一类间断点（跳跃间断点）。
7． 求下列欧拉方程的通解：
【答案】（1）令
2
（D +2D+1）y=0
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
求f （x ）的间断点，并说明间断点所属类型。
即并记则原方程可化为
于是该方程的通解
即
该方程的特征方程为
故原方程的通解为
（2）
令
即
并
记
有根
则原方程可化
为
有根
即
故齐次
该方程对应齐次方程的特征方程为
方程的通解为
因
不是特征方程的根，故可
令
是非齐次方程的特解。代入