2017年清华大学交叉信息研究院841量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例
如
就是它们的共同本征态，本征值皆为
2． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若
是薛定谔方程的两个解，证明
与时间无关.
相互不对易，
但
（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴
取式（1）之复共轭，得
得
对全空间积分： 即
所以与时间无关. （2）设
代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以
因此，通解可以表示为其中，
3． 验证球面波
是满足不含时的薛定谔方程
满足自由粒子的薛定谔方程：
（注：【答案】
故
其中代表仅与角度有关的微分算符）
则
故
由（1）（2）（3）式可得
4． —自旋中的矩阵为
（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数
的粒子的哈密顿算符
为实常数。
确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求
和
的几率。 时波函数为
其中
及能量£
、动量
已知
时，
其中，
，
在表象
此即所需证明方程.
（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知
是的本征值
与自旋的平均值：【答案】（1
）
的本征函数，求任意时刻的波函数
本征方程
为若
设
即需
解
方程有非零解，则必有
可得：
因此：
任意时刻，因为
时刻，
且：
故：
的几率为：
的几率为：（2）容易证明，
时刻，粒子的空间波函数为
的本征态，对应本征值为
故：
5． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2）
本征函数可以表示为
因此：
其中a 为波尔半径. 求氢原子的归一化本征函数
其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？
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