2017年南开大学陈省身数学研究所845高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
则A 与B （ ）.
，
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）.
A. 若B. 若C. 若
线性相关，则线性相关，则线性无关，则
线性相关. 线性无关. 线性相关.
D. 若【答案】A
线性无关，则线性无关.
则
线性无关，
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
5． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C
【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 6． 设A 是
是（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
二、分析计算题
矩阵，证明：存在一个
非零矩阵B 使
的充分必要条件是故齐次方程组
即
【答案】必要性.
令
因B 为非零矩阵，至少一个
系数行列式
充分性.
齐次方程组
是B 的第i 列，
则
有非零解. 设
有非零解，其
是它的一个解.
令
则满足
为
7． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换，在某基下的矩阵为对角矩阵，又T 的全部互异的特征值. 证明：存在V 的线性变换
①②③④⑤其中
为特征值的特征子空间.
现在令①对V 中任意
易知是V 的线性变换.
由（6）可得
使
【答案】由于T 可对角化，故V 为所有特征子空间的直和，即。于是对V 中任意向量总可唯一表为
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