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一、解答题

1．

已知

的秩为

2.

二次型

求实数a 的值；

求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】

⑴由

可得

，

则矩阵

解得B 矩阵的特征值为

：当

时，

解

得对应的特征向量为

当时，

解

得对应的特征向量为

对于

解得对应的特征向量为

：

将单位转化为

：

. 令X=Qy,

则

2． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明[!

【答案】

（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

且秩

的值.

即或

贝

因为A 是

是正定矩阵，

并求行列式

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

实对称矩阵，所以必可对角化，

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.

故二次型

（Ⅱ）因

为

3． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

故

的规范形为

所以矩阵B 的特征值是

：

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，

且

令

非零可知，是A 的个

即

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故

4． 已知

A

是

矩阵，齐次方程组的基础解系是

与

有非零公共解，

求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，

有

得到所以矩阵

的基础解系为

（

Ⅱ

）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为

由

对

线性表出，故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，解出

因此，Ax=0与Bx=0的公共解为

其中t 为任意常数.

二、计算题

5． 求解下列齐次线性方程组：

（1）

（2）