2018年西北农林科技大学风景园林艺术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2．
已知三元二次型
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得 3．
已知
且
.
求
又
又
知
即 4．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得
故
知
故
【答案】
由题意知
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
二、计算题
5． 设3阶对称阵A
的特征值为与特征值
A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A
的对应于特征值
由对称阵特征向量的性质知
，
其系数矩阵
与
和
都正交，即有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
的秩等于1. 于是
，是它的一个基础解系，取其为
（2
）把向量组用施密特方法正交化，得
（3
）分别把向量，单位化，得