2018年对外经济贸易大学统计学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 2．
已知
且
.
求
又
又
知
得
故
知
故
【答案】
由题意知
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即
3．
已知A
是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A
的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
是3维线性无关列向量，且
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆
.
即A
与B
相似.
（
Ⅱ
）由
A
的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵
B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1,
故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为0.
（Ⅲ）由
知
故
芄中
不
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4． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知则. 可
逆. 又故即
所以即
而
故
二、计算题
5． 已知
3阶矩阵A 的特征值为1,
2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，
是B 的特征值. 分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5
, -5是B 的特征值
. 注意到B 为3
阶方阵
，故
6．
求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：
（1）
（2）
【答案】（1）对作初等行变换，求它的行阶梯形：