题目：动力学方程的辛差分求解格式

在对动力学方程的研究中，通常都是采用欧氏空间中的描述和求解方法。例如各级各阶的R-K方法、中心差分法,Wilson 方法和Newmark方法等。由于这些强有力的算法本身耗散系统的能量并使动态响应的相位滞后，因此其长期跟踪能力不尽人意。虽然可以通过减小时间步长达到降低耗散减小相位滞后以提高计算精度的目的，但这要以牺牲计算量和工程应用价值为代价。本文针对有限元动力学方程的求解问题，利用辛差分格式对其进行了研究，将传统的经典算法和各种辛格式进行了数值比较，给出了借助于辛算法求解动力学方程的一些有益结论。具体如下：1)给出了动力学方程的二阶Euler中点隐式差分求解格式，分保守系统、无阻尼受迫振动系统和阻尼系统三种情况讨论了算法中Jacobi矩阵的性质，譬如是否为辛矩阵以及谱半径等。对于无阻尼系统，证明了无论是否存在外载荷，Jacobi矩阵都是辛矩阵。证明了辛矩阵的所有本征值的模为1，其谱半径永远为1。证明了确定参数的Newmark算法就是Euler中点隐式差分格式，对保守系统为辛算法。严格证明了Euler中点辛格式是严格保持系统能量的。通过算例详细讨论了保辛算法用于求解非保守系统动态特性的优越性，如广义保结构特性等；分析了保辛算法的相位误差以及由其引起的系统的附加能量特性；分析了保辛算法和 的Newmark算法的精度随着激励频率与系统固有频率比的变化情况等。2)精确估计了单步辛算法的相位误差，对其机理进行了分析，并提出了相应的修正方法。对于动力学系统而言，辛单步算法的相位误差是由步长和系统的固有频率的乘积来决定的。3)基于线性多步方法的构造格式和辛变换，给出了动力学方程的两种辛两步法求解格式，它们分别具有四阶精度和二阶精度，但却只有二阶格式的计算量，因此四阶辛两步法具有较大的应用价值。对两种辛两步法和解析解进行了数值比较。