2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 已知A 是n 阶可逆矩阵，那么与A 有相同特征值的矩阵是（ ）。
A. B. C. D.
A
与
可得到
：
有相同的特征多项式，所以A 与
说明
【答案】A 【解析】
由于有相同的特征值.
由
与A 的特征值是不一样的（但A 的特征向量也是它们的特征向量）。
2． 设A 为三阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得到单位矩阵，
记
A. B. C. D.
从而
则A=（ ）。
【答案】D 【解析】由题意知
，
3．
已知方程组
A.-1 B.10 C.1 D.2 【答案】C
【解析】线性方程
组
因为
有两个不同的
解
有无穷多
解
有两个不同的解，则（ ）。
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令把
得
代入原方程组，有
因为故知时方程组有无穷多解.
4． 设三阶矩阵A 的特征值是0, 1, -1, 则下列命题中不正确的是（ ）。
A. 矩阵A-E 是不可逆矩阵 B. 矩阵A+E和对角矩阵相似
C. 矩阵A
属于1与-1的特征向量相互正交 D. 方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成 【答案】C
A 项，-1, 因此矩阵A-E 的特征值是-1
, 0, -2. 由于【解析】因为矩阵A 的特征值是0, 1，矩阵A-E 的特征值，所以A-E 不可逆
.
B 项
，因为矩阵A+E的特征值是
1, 2, 0, 矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化（或由
而知A+E可相似对角化）。
D 项，因为矩阵A
有三个不同的特征值，知
因此
从而齐次方程组Ax=0
的基础解系由
个解向量构成.
是
C 项，若A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交.
5． 已知四维向量组且向量
（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C
线性无关，
则
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【解析】将表出关系合并成矩阵形式有
因四个四维向量故
初等行变换，
故有
线性无关，
是可逆矩阵，A 左乘C ，即对C 作若干次
故知
二、填空题
6．
从
的基
故
7． 设
【答案】20
【解析】由行列式性质
或者，利用分块矩阵乘法
有
到基的过渡矩阵为_____.
【答案】
【解析】设过渡矩阵为P ，
则
是3阶矩阵，且若则=_____.
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