2016年山东师范大学物理与电子科学学院量子力学之量子力学简明教程复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
2．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
3． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。
4． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
如果
对整个空间积分也等于1。
对整个空间积分等于1，则
的对易关系.
去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的
二、计算题
5．
为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。
【答案】
6． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由
得，
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即
可得
所以当n=l时有最小时间，即
7． 已知氢原子在t=0时如下处于状态：
其中，
为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t
将t=0时的波函数写成矩阵形式：
解得
＞0时的波函数。
【答案】已知氢原子的本征值为：
利用归一化条件：