题目：多小波的理论研究

小波分析作为继Fourier分析之后，调和分析发展史上的又一里程碑，已经成为各个研究领域的科学工作者都乐于使用的数学工具。在其诞生后的短短几十年在理论和应用方面得到了迅速发展。作为小波发展的一个重要方向----多小波，不仅保持了单小波的优点，而且克服了它的缺点。使得小波分析又一次形成研究热潮，成为国际研究热点。
本文的工作正是以多小波为研究对象，以单小波的发展简史和基础理论为出发点。重点介绍了多小波的发展以及多小波分析理论知识。多小波作为一类新兴的小波，设计具有好性质的多小波系统是研究者们共同追求的目标。本文主要对多小波的对称、逼近和插值性进行了研究。在第三章主要讨论了对称和逼近性问题。在第四章主要讨论了插值性问题。
全文分为四章：
第一章是绪论，综述了小波和多小波发展史，并指出了多小波相比单小波的优点；而它相对于单小波的缺点是：多小波的多输入、多输出而引起的不平衡问题。
第二章介绍了小波和多小波的理论基础。在第一部分介绍了连续小波变换、多分辨分析。在第二部分着重介绍了多小波的有关知识。与单小波一样，多小波也有多分辨分析，从这里我们可以看出小波与多小波的相同和不同之处。接着介绍了在信号处理中重要的分解和重构算法。最后，我们介绍了多小波的性质。这些性质是多小波在实际应用中重要的性能指标。也为后两章的工作奠定了基础。
第三章首先针对已有的关于Φ(x)的每个分量的支集都相等的多尺度函数的 对称性问题，给出了Φ(x)每个分量支集长度不同时的多滤波器组应满足的时域条件。由于逼近性是多小波系统的重要性能指标，尺度函数具有高的逼近阶有效提高了系统的逼近能力。因此，它是影响系统去噪、压缩性能的重要因素。这里，我们利用对称、反对称正交多小波的一种具体参数化形式[13]，构造了满足逼近阶分别为2，3的对称、反对称的正交多小波系统。同时，通过改造，使其具有一阶平衡性。这样更有利于实际应用。
第四章主要讨论了插值性问题。在正交多小波的分解和重构算法中，如何得到最细层投影系数CJ？人们希望能够避免复杂的卷积运算，从信号的采样值通过预处理获得近似的投影系数。但具有插值性的多小波系统能够避免预滤波，也就是信号的采样值正是信号在这个空间的投影系数。所以构造具有插值性的多小波系统是非常重要的。本章主要对r=2时多小波系统的一般插值性进行了讨论，并在加入正交性条件的情况时，给出了多滤波器组参数化形式。