● 摘要
算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展, 它已成为现代数学中的一个热门分支，并与量子力学、 非交换几何、 线性系统和控制理论, 甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透.为了进一步探讨算子代数的结构, 近年来, 国内外诸多学者对算子代数上的线性映射进行了深入研究, 并不断提出新的思路. 例如, Jordan映射, 局部映射, 2-局部映射, 双局部映射, 初等映射,线性保持问题, 零点广义可导映射等概念先后被引入和研究, 目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的重要工具.
本文主要对几类算子代数上的在零点可导映射和Jordan导子以及2-局部导子进行了研究,
具体内容如下:
第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号, 定义以及本文要用到的一些已知结论和定理. 第一节我们介绍了导子,内导子,广义导子,广义内导子, 因子von Neumann代数, 子空间格, 套代数, 可比较元等概念. 第二节主要给出一些已有的引理及一些熟知的命题, 定理.
第二章首先对因子von Neumann代数中的套子代数及至少含有一个非平凡可比较元的CSL代数上的在零点广义可导的线性映射进行了研究, 并分别证明了这两类代数上的在零点广义可导的线性映射(没有假定连续性)是广义导子. 其次又对标准算子代数上的在零点广义可导的线性映射进行了讨论, 证明了标准算子代数上的在零点广义可导的线性映射是广义内导子.
在第三章中我们首先引入零点Jordan可导映射的概念, 并且对因子von Neumann代数中套子代数上的在零点Jordan可导的线性映射进行了讨论, 证明了因子von Neumann代数中套子代数上的在零点Jordan可导的弱连续的线性映射是一导子与数乘恒等映射之和. 最后我们证明了B(H)上的在零点Jordan可导的线性映射是一内导子与数乘恒等映射之和.
第四章第一节对至少含有一个非平凡可比较元的CSL代数AlgL上的Jordan导子进行了讨论, 得到AlgL上的任一个Jordan导子必为导子. 进而AlgL上的任一个线性2-局部导子都是导子. 第二节对digraph代数上的2-局部导子进行了研究, 证明了对称digraph代数上的每一个2-局部导子(不必线性)都是导子, 并给出一个例子说明该结论在非对称digraph代数上不成立.