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一、计算题

1． 起重机械中的一部件如图1（a ）所示。试问:

（l ）当求部件的临界力F cr 时，取图1（b ）、（c ）中的哪一力学模型较为合理? （2）按图1（c ）所示简图，导出求欧拉临界力的方程; （3）若I 2=10I1，l 1=l2，则按两种简图所得的F cr 之比为多少?

图1

【答案】（l ）选取图1（c ）所示力学模型较为合理。油缸虽不受压，但是由于活塞杆受压弯曲时，力的传递 可能会导致油缸的失效，从而影响临界力的大小。

（2）当图1（c ）中所示压杆在微弯状态下保持平衡，其挠曲线如图2所示，建立如图2所示坐标 系，可列出各段弯矩方程。

图2

各段挠曲线近似微分方程为: CB 段

AC 段

令

则以上两式可变形为:

可得式①的通解和一阶导分别为:

对于式③，根据边界条件

可确定积分常数:

故:

同时根据光滑连续条件:

将②、④带入连续性条件中，整理得:

由

边

界

条

件

代入式②

可

得:即:

联立⑤、⑥式构成齐次方程组，若使A 、B 、δ有非零解，则必须使上述方程组的系数行列式为零，

整理得:

将

代入上式并整理得:

由式⑦解得k 2的最小非零解，并由（3）根据题意，若解得k 2l 2最小非零解:

故按图1（c ）有压杆的临界压力:按图1（b ）有压杆的临界压力:两临界力的比值:

。

可得压杆的临界压力值为:

，则代入式⑦可得:

2． 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F ，如图所示，簧丝直径d=10mm，上端面平均半径R 1=5cm，下端面平均半径R 2=10cm，材料的许用切应力[τ]=500MPa，切变模量为G ，弹簧的有效圈数为n 。试求:

（l ）弹簧的许可拉力；（2）证明弹簧的伸长