2018年云南大学物理科学技术学院621量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 证明
式中A 为归一化常数
，
是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.
【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为
本题中波函数
所以
是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为
2． 设已知在，值为
的共同表象中，算符
的矩阵分别为
试在取
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得同理由
为
可以解得
概率为
时态矢为
概率为
态矢
平均值为
3． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：
【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程
】
】
处于定态时有
则有
由于势函数满足
设
则波函数满足奇宇称或偶宇称.
注意到①有
有
（1）满足偶宇称时有则
再考虑到归一化条件
注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有
综合（1）（2）讨论有波函数
本征能量矩阵元即
若m=n, 可得到若
则可得到
4． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为
为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.
【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有
故
其中
（2） —维谐振子能量为故
t 时刻波函数为
（3）
各自对应概率为
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均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为
5． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量
的微扰作用。