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一、计算题

1． 设函数

连续，且满足

在该方程两端对x 求导，得

即

可见若记

又在方程

则有初值问题

上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解

且有代入初始条件

有

解得

x

【答案】由所给方程可得

的两端对x 求导，得

而不是

于是方程（1）

是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得

即于是得

2． 画出积分区域，把积分

(1)(2)(3)

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表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是：

【答案】（1）如图2所示，在极坐标系中，有

故

图1 图2

（2）如图3所示，在极坐标系中，

，故

（3）D 如图4所示，在坐标系中，

直线

。于是

的方程为

，

故

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图3 图4

3． 求下列函数的

（其中f 具有二阶连续偏导数）

【答案】（1）令

编为1, 2号，则

因为f （s ，t ）是s 和t 的函数，所以间变量的x 和y 的函数. 故

也是s 和t 的函数，从

是以s 和t 为中

则

是中间变量，将

依次

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