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一、计算题

1． 已知图1所示两个自由度系统，其中A 和B 的质量分别为为1. 求系统的运动微分方程和固有频率

.

和

弹簧的刚度系数为k , 摆长

图1

【答案】

图2

系统具有两个自由度，取弹簧的变形x 和摆杆与铅垂线夹角为广义坐标. 广义力为:

动能:

由速度叠加原理:

上式中

，则代入（1）再代入拉格朗日方程

得到:

微幅振动下近似

上式化简为:

即

解得:

2． 试写出火箭上升的运动微分方程式. 火箭喷射气体的相对速度u , 可看作常数，火箭质量随时间变化的规律为量为

，空气的阻力是火箭速度和它位置的已知函数:（燃烧规律）

【答案】设火箭的初始质量为单位时间燃料消耗率为:

燃气喷出的相对速度为

，根据

可得火箭的运动微分方程为:

将

代入上式可得:

3． 图所示两个弹簧的刚度系数分别为的周期

.

及

（包括壳体的质量mg 和燃料的质量mp ）. 火箭的瞬时质

物块质量m=4kg.求物体自由振动

图

【答案】两个弹簧串联, 等效刚度系数为:

取坐标原点为平衡位置处, 设在重力作用下变形量为, 则设垂直向下为正向, 则可得物块运动微分方程:

联立以上各式得:

令

上式可化简为:

则

为振动固有频率, 自由振动周期为:

代入数值解得:解得:

（c ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

（d ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

4． 构架尺寸如图1所示（尺寸单位为m ）, 不计各构件自重,

载荷及AD 两杆所受的力。

求AC

（b ）斜面倾角与运动方程无关, 弹簧串联,