2018年华南农业大学动物科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
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知的基础解系，
即为
的特征向量
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
贝腕阵的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
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得到所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为 3．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
（
Ⅱ
）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
线性表出，故可设
于是
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
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其中
4．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
为任意常数.
线性无关.
和向量组
线性表示；
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A
满足
【答案】
另一方面，由矩阵秩的性质，
知因
，故由以上两个不等式知
，
，E 为n 阶单位矩阵，证明
（矩阵秩的性质）。
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