2017年大连大学信息工程学院820高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。
【答案】
。又所求平面经过点
，
即
即
故所求平面方程为
【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为，故其满足平面方程，
得
（1, -1, 2）
。
2．
若函数
_____。
【答案】【解析】令
。故
3．
设向量场
的方向导数
【答案】【解析】于是而故 4．
【答案】
_____。
，
_____。
，
则其散度
在点
处沿方向
，得
，且代入
方程中，
得
，其中Z
是由方程
确定的x ，y 的函数，
则
【解析】交换积分次序，得
5． 设二元函数
【答案】
【解析】由二元函数
得
故有
6． 设平面曲线L 为下半圆周
【答案】π
【解析】将曲线方程转化为参数方程：
则
7． 己知函数
在x=0连续，则以_____ 【答案】
8． 已知幂级数
【答案】1
【解析】由于幂级数收敛半径为1，因而幂级数
在x=1处条件收敛，则x=1为该幂级数收敛区间的端点，即其
收敛半径也为1。
在x=1处条件收敛，则幂级数
的收敛半径为_____。
，则曲线积分
_____。
，则
_____。
二、计算题
9． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
的收敛域、核函数.
.
由于
=1，故得到收敛半径R=1，
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函
数
则
其中
所以
10．溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。
建立h 与H 之间内的关系：
又
即
，即
，故
，
上式两端分别对t 求导，得
当H=12时，
，此时