2018年大连理工大学盘锦校区基础教学部806量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为为定值. 2 用球坐标表示，．粒子波函数表为写出粒子在球壳【答案】
3． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
并积分得
考虑到正交归一化条件
有
【解析】由题意
中被测到的几率_____。
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
4． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
二、计算题
5． —自旋中的矩阵为
（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数
的粒子的哈密顿算符
为实常数。
确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求
和
的几率。 时波函数为
其中
及能量£
、动量
已知
时，
其中，
，
在表象
（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知
是的本征值
与自旋的平均值：【答案】（1
）
本征方程
为
的本征函数，求任意时刻的波函数
若
设
即需
解
方程有非零解，则必有
可得：
因此：
任意时刻，因为
时刻，
且：
故：
的几率为：
的几率为：（2）容易证明，
时刻，粒子的空间波函数为
的本征态，对应本征值为
因此：
故：
6． 设有三个
自旋算符
组成的系统，其哈密顿量为
试
（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；
（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为
其中
能量与无关，可由
时，能量为
时，能量为
时，能量为
当
故系统的力学量完全集为完全确定
. .
可取值个数确定，则
完全确定时，能级简并度将仅由
可取值的个数为2, 故简并度为
2.
可取值个数为2，故简并度为
2. 可取值个数为4，故简并度为4.
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