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一、计算题

1． 质量为m 的重物悬挂在刚度系数为k 的弹簧上, 且在光滑的铅垂滑道中运动. 在重物的中心处铰接一个质量为M 、长为21的匀质杆, 杆在铅垂平面内运动, 如图1所示.

（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标； （2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （3）写出系统的第二类拉格朗日方程； （4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图1

【答案】（1）以整个系统为研究对象, 物块和杆均做平面运动, 该系统具有两个自由度. 选重物A 的中心的垂直坐标y 和杆的偏角为广义坐标, 如下图所示. 因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力, 所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解.

（2）以A 的中心C 点为基点分析AB 杆质心D 的速度, 如图2所示.

图2

根据速度合成公式有

其中系统动能为

选为零势能点, 设弹簧的原长为则系统的势能为

故系统的拉格朗日函数为

（3）求各偏导数

将以上各式代入第二类拉格朗日方程

（4）求其首次积分

因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即

2． 如图1所示, 飞机机翼上安装一台发动机, 作用在机翼0A 上的气动力按梯形分布

:力偶矩

所受的力。

机翼重

求机翼处于平衡状态时, 机翼根部固定端

发动机重

发动机螺旋桨的反作用

图1

【答案】将梯形分布载荷分为矩形载荷和三角形载荷, 如图2所示。

图2

可知其合力分别为

以机翼为研究对象, 由平衡方程

得