2018年湖北工业大学轻工学部314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
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【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组
使得
线性无关；
向量组
不全为0
,
不全为0.
记
和向量组向量
线性表示.
则
即存在非零列向量
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
所有非零解
_
t 为任
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
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且有
4．
设线性方程m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况
，备解时求出其解
.
作初等行变换，
如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解
，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（
3）当（4
）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5． 由
，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关，
第
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由
也线性无关. 又因
，
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，故