2018年湖北工业大学轻工学部314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
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2018年湖北工业大学轻工学部314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（一）.... 2 2018年湖北工业大学轻工学部314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（二）.. 10 2018年湖北工业大学轻工学部314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（三）.. 19 2018年湖北工业大学轻工学部314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（四）.. 26 2018年湖北工业大学轻工学部314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（五）.. 38
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
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则
P 可逆
，
且
2．
设线性方程m
试就讨论方程组的解的悄况
，备解时求出其解
.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
作初等行变换，
如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当（
4）当
3． 设二次型
（1）证明二次型f 对应的矩阵为（2）若
【答案】（1）由题意知，
即
时
此时方程组无解
.
记
正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为 4．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解
；
（Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量
.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值，
为4的2重特征值，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量
； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】（Ⅰ）由于A
为3
阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A 相似于矩阵
二、计算题
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