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一、计算题

1． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

. 而当k ≥ 1时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩:

（4）最后计算偏度与峰度

由此可见:二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.

更细致的讨论会发现:①在区间

布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，分布更乎坦；②在区间正态分布更尖峭.

2． 设a 为区间

外

，

内，

此时二项分

此时二项分布是对称的，且比标准正态

，此时二项分布比标准

上的一个定点，随机变量X 服从区间上的均匀分布. 以Y 表示点X

到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.

【答案】由题设条件知

又因为

所以由此方程等价于

从中解得在

内的实根为

即

时，X 与Y 不相关.

和

的分布.

这就给出了

的分布列

表1

可得方程

3． 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求

【答案】由古典概率可得

类似地，从而

这就给出

的分布列

表

2

4． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

，这样的矩形称为黄金矩形（看

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为， 试检验假设

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知， 故拒绝域为经计算

，若取显著性水平，由此，检验统计量

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

下拒绝原假设.

5． 假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下:

（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）； （2）画出直方图.

【答案】此处数据最大观测值为1572, 最小观测值为738, 故组距近似为

确定每组区间端点为

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

，查表知，

此处可取