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一、计算题

1． 图所示单摆, 摆长为1, 小球质量为m , 其悬挂点以加速度向上运动. 试选择单摆的摆角为广义坐标建立系统的运动微分方程, 并求单摆作微振动的周期

.

图

【答案】建立与挂点固定的坐标系, 如图所示.

单摆相对于挂点作摆动,

以摆角为广义坐标系,

参照物为挂点

系统在新参考系下的广义力和系统的动能为:

代入拉格朗日方程

可得:

根据单摆的周期公式可得:

加速度为

则

2． 半径为R 的滚子放在粗糙水平面上, 连杆AB 的两端分别与轮缘上的点A 和滑块B 铰接. 现在滚子上施加矩为M 的力偶, 在滑块上施加力F , 使系统于图1所示位置处平衡. 设力F 为已知, 忽略滚动摩阻和各构件的重量, 不计滑块和各铰链处的摩擦. 求力偶矩M

以及滚子与地面间的摩擦力

图1

【答案】只滑不滚情况下, 添加虚位移如图如图2（a ）所示； 只滑不滚情况下, 添加虚位移如图如图2（b ）所示

.

图2

对于（a ）, 由虚功方程

由运动关系可知

解得

对于（b ）, 由虚功方程可得

由虚速度法可得

解得

3． 如图所示为一边长为a 的正方体, 已知某力系向B 点简化得到一合力, 向力。问:

（1）力系向A 点和（2）力系向A 点和

点简化所得主矩是否相等？ 点简化所得主矩是否相等？

点简化也得一合

图

【答案】（1）不相等；（2）相等。

4． 图1中所示杆率.

提示:可取与为广义坐标

.

长1=1.5m, 重量不计，可绕水平轴摆动. 在A 端装一质量

半径

r=0.5m的均质圆盘，在圆盘边上点B ，固结一质量的质点. 求此系统作微幅振动的固有频

图1

【答案】

图2

选取静平衡位置为坐标起始位置和零势能位置，取势能表达式为:

为广义坐标，如图所示，系统动能、