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一、计算题

1． 一根下端固定、上端自由的细长等直压杆如图1（a ）所示，为提高其承压能力而在长度中央增设旁撑 （图b ），使其在该处不能横移。试求加固后压杆的欧拉临界力计算公式，并计算加固前、后临界力的比值。

图

1

图2

【答案】对于图1（b ）在微弯状态下保持平衡，其挠曲线由AB 、BC 两部分组成，建立坐标系，如图2所示。

建立各段挠曲线微分方程: BC 段:AB 段:

令，以上两式可变形为:

以上两式通解及一阶导分别为:

对于式②，由边界条件

可得：

对于式①，由边界条

件数

:

且有:

变形连续性条件:

代入各一阶导方程中得:

联立式③④⑤构成齐次方程组，要使零，即:

有非零解，则必须使上述方程组的系数行列式为

可确定积分常

整理得:

该方程的最小非零解:由

得该压杆的临界压力:

加固前该压杆的临界压力:

加固前后临界力的比值:

2． 试用卡氏第二定理求图（a ）所示刚架上的点A 、B 间的相对线位移和C 点处两侧截面的相对角位移。各杆的弯曲刚度均为EI 。

图

【答案】（l ）A 、B 间的相对线位移△AB 。 刚架的应变能

（2）如图（b ）在C 处加一对大小相等，方向相反的力偶M c =o，此时刚架的应变能:

于是得C 点的相对角位移:

相对转角θc 的方向同于外加力偶M c 。

3． 空心钢轴的外径D=100mm，内径d=50mm。己知间矩为I=2.7m

的两横截面的相对扭转角

材料的切变模量G=80GPa。试求:

（l ）求轴内的最大切应力;

（2）当轴以n=80r/min 的速度旋转时，轴所传递的功率。 【答案】（l ）根据空心轴的变形计算公式

，可得该空心轴上的扭矩

轴内的最大切应力发生在最大半径处，即