题目：PSD迭代法的收敛性分析及误差估计

大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心,许多作者都对此作了研究(见[18]-[29])。随着计算机的飞速发展,需求解的问题的规模越来越大,迭代法已取代直接解法成为求解大型线性方程组的最重要的一类方法。一般情况下,线性方程组的迭代解法不能通过有限次的算术运算求得方程组的精确解,而是逐步逼近它,即使每个计算步骤都用精确的算术运算,迭代解法也只能得到近似解。因此,凡是迭代解法都有收敛性与误差估计的问题,本文主要讨论预条件同时置换(PSD)迭代解法的收敛性与误差估计。

对于PSD迭代法收敛性问题已有许多工作者对它进行了研究(见[1]-[13]),而本文在第二章中一方面指出D. J. Evans和N. M.Missirlis
在文献[1]中定理3.3的不准确,同时给出了当线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定阵时,PSD迭代法收敛的一个充分条件与之比较,并第2.3节中用实例说明了对于一部分矩阵而言本文得到的充分条件广于[1]中定理3.3的充分条件;另一方面,按照文献[14]的方法,我们从PSD迭代法的特征值与其Jacobi迭代矩阵B的特征值的关系式出发,在不同条件下对PSD迭代法的收敛性和最优参数以及最优谱半径进行了完整的分析:(1)在系数矩阵A为(1,1)相容次序矩阵且对角元全不为零,其Jacobi迭代矩阵B的特征值全为实数的条件下,给出了PSD迭代法收敛的充分必要条件,此结果与[9]中的定理1等价,此时最优参数及最优谱半径由[8]得；(2)第三章表3.3中给出了,当系数矩阵A为(1,1)相容次序矩阵且对角元全不为零,其Jacobi迭代矩阵B的特征值全为纯虚数或零时的PSD迭代法的收敛范围和最优参数,并且我们可以得到PSD迭代法是SSOR方法的最佳外插迭代;除此之外,PSD迭代法的收敛速度和SSOR方法的收敛速度一致。

随着系数矩阵A的阶数的增大,线性方程组Ax=b的精确解很难直接解出,因此我们有必要去获取其误差估计来判断每一步迭代的好坏。本文的第四章在线性方程的系数矩阵A为对称正定(1,1)相容次序矩阵的条件下,得到了一个依赖于向量内积的PSD迭代法的误差估计,并用实例说明了此误差估计的有效性与实用性。