2018年对外经济贸易大学金融学院396经济类联考综合能力[专业学位]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
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（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是
3维线性无关列向量，且
故原方程组的通解为
（
3
）当（4）当
即
3． 已知
A 是
3阶矩阵
，
时
此时方程组无解.
（Ⅰ）写出与
A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量
： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
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是
A 的特征向量，于是A 属于特征值
-1的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
4．
设三阶方阵
A 、B
满足
式
的值.
其中E
为三阶单位矩阵.
若
求行列
知
故
芄中
不
【答案】由矩阵
知
则. 可
逆
.
又故
即
所以即而
故
二、计算题
5． 设
求
【答案】直接计算得
一般可得
事实上，当k=1时，（1）式显然成立； 设当k=n时，（1）式成立，那么当时，
由归纳法，知（1）式成立.