2018年对外经济贸易大学金融学院396经济类联考综合能力[专业学位]之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2．
已知
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对作恒等变形，
有
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即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
3．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5． 验证：
（1）2
阶矩阵的全体；
（2）主对角线上的元素之和等于0的2
阶矩阵的全体（3）2
阶对称矩阵的全体个基.
【答案】（1）
显然对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算8条规律，由定义
，对于矩阵的加法和数乘构成线性空间.
在
中取向量组
那么向量组
线性无关. 事实上. 若有
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；
对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一
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