2018年对外经济贸易大学保险学院396经济类联考综合能力[专业学位]之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足
AB=£；
的所有矩阵为其中为任意常数.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数
a 的值；
求正交变换
x=Qy使得f
化为标准型.
【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，解
得对应的特征向量为
当
时，
解得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy, 则
且秩
的值.
3． 设n 阶实对称矩阵A 满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明
的规范形；
是正定矩阵，并求行列式
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【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
即或
贝
因为A 是
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
4． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
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