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一、解答题

1． 利用微分定理求图所示半波正弦脉冲f(t)

及其二阶导数

的频谱。

图

【答案】由图可知

，对f(t)求导，有

两边取傅里叶变换，有

所以

。

，其中

。

利用微分性质，可得到二阶导数的傅里叶变换，为

2． 已知h(n)=0，n<0或n>N+1，且h(n)=h(N－1－n) ，N 为偶数。

求:(1)

若(2)求【答案】

(1)

，求

表达式以及相应的Q(k)。

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(2)

3． 一线性非时变因果系统可用二阶常系数微分方程来表示，且已知

(1)系统函数H(s)的极点p ＝﹣2和零点z ＝2; (2)若输入e(t)＝1, 则零状态响应r(t)＝﹣2;

(3)系统冲激响应h(t)的初始值为2, 且不含冲激。试求该系统的微分方程。

【答案】按照题意，该系统可用二阶常系数微分方程表示，所以H(s)为一有理分式。根据系统为二阶和已知零极点位置可设

式中，q(s)为s 的多项式，p 为待定极点位置。由于输入e(t)＝1时，输出r(t)＝﹣2，可以写出

于是

即

利用拉氏变换初值定理

在上述极限式中，若分子阶次比分母高时则极限发散，分子阶次比分母低时则极限为零。本例分子阶次与分母阶次只有相同时，极限为有限的非零值，所以q(S)必为常数k ，于是

因此

故

因此可得表示该系统的微分方程为

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4． 用傅里叶变换法求系统在周期信号

激励下的正弦稳态响应y(t), 已知系统的微分方程为

【答案】由于在周期激励信号下，

激励是在故全响应就是零状态响应，且是正弦稳态响应。

对系统微分方程两边取傅里叶变换得:

所以

式中

故

故

由于有

故得

可见y(t)仍与激励f(t)同频

率

和

5． 某系统如图所示。

(1)写出系统函数H(s)，并求出系统冲激响应h(t); (2)若在该系统前面级联一个理想冲激串采样，即使用

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时刻接入系统的，故不存在零输入响应，

的正弦信号，但幅度要乘

以处

的函数值。

相位增加

了

分别为

对x(t)采样，设