2018年仲恺农业工程学院植物病理学314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
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2． 设为三维单位列向量，
并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （
Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量.
又且
另外，由
故可知
为
A 的特征值，
为4的2
重特征值，
为对应的特征向量.
为A
的3个
为4
的单重特征值.
故A 有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为
3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关
.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3．
设
n 阶实对称矩阵
A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明
[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，并求行列式
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因为
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
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4．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
二、计算题
5．
设
（1）AB=BA吗? （2
）
吗？
问：