● 摘要
本文研究了以下两类模型:一类是具有离散和连续时滞的Lotka-Volterra模型,另一类是具有时滞的差分系统的稳定性及Flip分支问题.主要讨论了这两类模型正平衡态的局部渐近稳定性、Hopf分支的存在性、分支周期解的稳定性、全局渐近稳定性、解的一致持久性以及差分方程解的稳定性和Flip分支问题.
第二章和第三章研究了以下具有离散和分布时滞Lotka-Volterra模型
在第二章中，讨论了模型正平衡态的局部渐近稳定性、Hopf分支存在性、分支周期解的稳定性. 以时滞为参数，根据特征值理论，分别得到正平衡态局部渐近稳定的充要条件和Hopf分支存在的充分条件；根据中心流形定理及规范型理论，讨论了在分支值附近，分支周期解的稳定性问题；用Matlab绘制出模型数值解的图像，包括解的相图和分支周期解图，使文中所得结论的正确性得以验证.结合图形用控制变量的方法，分析和比较了各个参数变化对分支周期解的振幅、周期的影响.
在第三章中，研究了模型正平衡态的全局渐近稳定性和解的一致持久性.利用比较原理，得到系统非负解一致持久的充分条件；通过对原模型的等价系统，构造Lyapunov泛函，得到系统全局渐近稳定的充分条件；最后进行数值模拟，验证了所得结论及条件的可实现性.
很多学者在文献中，均研究了连续模型的性态，如模型平衡点的稳定性和Hopf分支存在性.而有关差分系统的相关研究文献较少，鉴于此，本文在第四章中，引入如下具有时滞的差分系统
由特征值和Jury判据理论，研究了差分系统的局部渐近稳定性和分支问题.且以为扰动参数，得到边界平衡态和正平衡态局部渐近稳定的充要条件和Flip分支存在的充分条件；由中心流形定理和分支理论，得到在分支值附近,分支周期解的稳定性；最后给出实例分析，验证了所得结论的正确性.
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