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一、填空题

1． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（1）数列{xn }有界是数列{xn }收敛的_____条件。数列{xn }收敛是数列{xn }有界的 _____条件。

（2）f （x ）在x 0的某一去心邻域内有界是在x 0的某一去心邻域内有界的_____条件。 （3）f （x ）在x 0的某一去心邻域内无界是与 在x 0的某一去心邻域内无界的_____条件。 （4）f （x ）当件。

【答案】（l ）必要，充分。 （2）必要，充分。 （3）必要，充分. （4）充分，必要。 2． 函数则

由关系式_____。 【答案】【解析】若要求有

的关系式，故令

对自变量的偏导，则需将关系式

，则

故

3． 设f （x ）为周期为4的可导奇函数, 且

【答案】1 【解析】当知

, 即

时, ,

为周期为4的可导奇函数,

,

为任意常数, 由

。

可

, 则

=_____

。

转化为只含

确定，其中函数

可微，且

，

时的右极限

及左极限

都存在且相等是

存在_____条

的_____条件，

是f （x ）

存在的_____条件。

存在是f （x ）

4．

函数

点的外法线方向的方向导数

【答案】【解析】

球面

其方向余弦为

在点

在点_____。

处沿球面在该

处的外法线向量为

，则

，

5． 设常数k>0, 函数

【答案】当当又

故曲线的个数为2。 6． 设

为球面

且球

面

至少关于

某个变量是

关于三个坐标面都对称，而

奇函数，因而有

7． 设平面曲线L 为下半圆周

【答案】π

在, 令

内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;

上单调减少。

,

时, 时,

, 故函数

, 故函数f （x ）在

与x 轴有两个交点, 因此函数

从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值

在内的零点

则_____。

【答案】

【解析】因

为

，则曲线积分_____。

【解析】将曲线方程转化为参数方程：则

8． 直线L :

【答案】

在平面π：x-y-3z+8=0上的投影方程为_____。

【解析】先求出一平面π1，使它过L 且垂直于平面π，设L 的方向向量为s ，π1的法向量为n 1，π的法向量为n ，则

而

在方程即

在π上的投影既在平面π上又在平面π1上，因此

9． 与积分方程

【答案】注：1°方程

等价的微分方程初值问题是_____。

的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达

为所求。

中令x=0, 得y=4, z=-1, 则π1的方程为

式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，

故积分方程应理解为

2

°由于积分方程后，有恒等式然，当

时，

确定了隐函数

因此积分方程中的y 取

即

显

于是上式两端对x 求导，就得

即

10．设在坐标系[O；i ，j ，k]中点A 和点M 的坐标依次为i ，j ，k]坐标系中，点M 的坐标为_____, 向量

【答案】

【解析】点M 的坐标为

，则在[A；和（x ，y ，z ）

的坐标为_____. ，向量

的坐标为