2018年重庆邮电大学理学院814概率论与线性代数之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设A 是4×3矩阵.
且
【答案】2 【解析】
逆，则
有
故r （AB ）=2. 2．
若
【答案】【解析】
3．
设
【答案】-3
【解析】其中
则_____.
则x=_____.
故
由R （B ）=3知矩阵B 可
而
•
则
=_____
4．
设二次型
【答案】[-2, 2]
【解析】由配方法可知，
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的负惯性指数是1, 则a 的取值范围是_____.
又由于负惯性指数为1，
则必须要求
故a 的取值范围是[-2, 2].
二、选择题
5． 设n
阶矩阵
A.0 B.2
C.
D.
【答案】A
【解析】
由已知条件知
6． 设A 是n 阶实对称矩阵，将A 的Ⅰ列和j 列对换得到B ，再将B 的Ⅰ行和j 行对换得到C ，则A 与C （ ）。
A. 等价但不相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D. 等价，合同且相似 【答案】D
【解析】将初等行、列变换，用左、右乘初等阵表出，由题
设
因
7．
如果向量组
的秩为r ，则下列命题中正确的是（ ）
故
故
即
故
且
将
的各列加到第一列得
若行列式
则
=（ ）。
A. 向量组中任意r-l 个向量都线性无关 B. 向量组中任意r 个向量都线性无关 C. 向量组中任意r-1个向量都线性相关 D. 向量组中任意r+1个向量都线性相关 【答案】D
【解析】
按向量组秩的定义向量
AB 两项，
例如向量组
包含零向量的任意两个或三个向量的向量组都线性相关.
C 项，
例如向量组两个向量都线性无关.
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的极大线性无关组有r 个
的秩为3，的秩为3，任何
中存在r 个向量线性无关而任意r+1个必线性相关.
8． 设A 、B 为n 阶矩阵，考虑以下命题：①A 与B 等价；②A 与B 相似；③A 与B 合同；A 与B 为正定矩阵.
用“
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】若A 、5为正定矩阵，则A 、S 均合同于单位矩阵，从而A 、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，则有A 与B 等价，故C 项成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立.
9．
设是三阶矩阵，则|A|=（ ）。
A.
B. C. D. 【答案】C
【解析】分别对每个行列式作适当的列变换，向A 项
，B 项
，
C 项
，D 项
，
10．设A
为
矩阵，下列命题中正确的是（ ）。
靠拢.
”表示命题P 可推出命题Q , 则（ ）.
A. 若A 中有n 阶子式不为零，则Ax=0仅有零解 B. 若A 中有n 阶子式不为零，则AX=b必有惟一解 C. 若A 中有m 阶子式不为零，则Ax=0仅有零解 D. 若A 中有m 阶子式不为零，则AX=b必有惟一解 【答案】A 【解析】A
是A 项，
因为
B 项，
当
有
CD
两项
矩阵，若A 中有n 阶子式不为零，而A
中又不存在
必只有零解.
所以
可能无解. 例如，
而
是行个未知数的齐次方程组，
所以
阶子式，
故必有
同理，若A 中有m 阶子式不为零，
则必有
时，
增广矩阵
的秩有可能是
方程组无解.
说明A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，
所以
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