● 摘要
本文主要研究解析数论和Diophantine方程中占有重要地位的经典问题, 特别是著名的Guass和的均值估计, D. H. Lehman问题,椭圆曲线整数点问题, 指数Diophantine方程以及其它各类Diophantine方程的可解性等特殊情形. 即利用解析方法研究了一个特殊的Gauss和的均值估计,并讨论了两类椭圆曲线的整数点问题, 一类指数Diophantine方程组以及三类 Diophantine方程的可解性问题, 得到一些有意义的结果. 此外, 还研究了一类有二次不可约因式的三项式问题,并给出了该三项式中两个系数的上界估计. 具体来说, 本文主要包括以下几个方面的成果：
第一章绪论部分主要是分别给出数论简介, 解析数论与Diophantine方程的研究背景简介及主要工作.
第二章利用解析方法与广义 Kloosterman和的性质, 结合著名的D. H. Lehman问题, 研究了一类特殊的Gauss和的估计问题, 给出一个较强的上界估计.
第三章主要研究了两种不同类型椭圆曲线的整数点问题. 首先利用二次和四次 Diophantine方程的性质以及初等分析方法，给出了一类广义椭圆曲线方程的整数点的证明. 其次利用初等分析方法研究了椭圆曲线的整数点问题, 给出了该椭圆曲线有整数点的两个判别条件.
第四章利用代数和初等方法研究了指数Diophantine方程组和的可解性问题, 彻底解决了该方程组的求解问题, 得到其唯一解并给出证明.
第五章主要讨论了三类 Diophantine方程的可解性问题. 首先利用一些四次 Diophantine 方程的结论及初等分析方法给出了Lucas 序列方程的整数解;其次利用高次Diophantine 方程的结论及初等分析方法讨论了奇完全数的性质, 改进并证明了有关奇完全数的一个结论; 最后讨论了两个二元二次Diophantine方程的可解性问题, 给出并证明了该二元二次Diophantine方程有解的两个充要条件.
第六章主要利用两个复数形式对数的下界估计讨论了一类有不可约二次因式的三项式的系数问题, 给出并证明了该三项式的两个系数界的估计.而且利用该结论以及Lucas数的整除性可以得到对于更一般的三项式有类似的结论.