● 摘要
自从19 世纪70年代D.S.Scott 首次提出Domain的概念以来,Domain理论一直成为人们关注的课题.到目前为止,已定义了连续Domain,Z-连续偏序集,广义连续偏序集等各种不同的Domain. 本文主要从两方面讨论连续Domain理论中的几个问题.一方面在经典Domain理论中,对连续Domain本身的性质进行了深入研究,得到连续Domain的许多类似连续格的性质,给出了连续Domain的等式刻划,连续Domain与Waybelow辅助序的关系,以及连续Domain的极大点空间的若干拓扑性质.这些结果对于丰富连续Domain的内容,体现连续Domain的内蕴特征具有重要作用.另一方面,从广义的角度研究连续Domain,引入相通连续Domain,Z-连通集系统的概念,从范畴方面得到许多良好的结果,拓宽了Z-集系统的研究领域,为研究连续Domain提供了一些新的途径. 下面介绍本文的结构和主要内容. 第一章对全文将要用到的连续Domain与范畴理论的概念与结果等预备知识作了简要概述. 第二章研究连续Domain的若干特征定理.首先引入了准定向极小集与准连续Domain的概念.其次给出了准连续Domain与连续Domain的一些等价刻画, 得到一个准连续Domain是连续Domain当且仅当它是广义连续Domain,进而得到了连续Domain的等式刻画.最后, 利用Waybelow关系证明了一个定向完备偏序集是连续Domain与它上的Waybelow关系为最小的逼近辅助序是等价的. 第三章研究相通连续Domain.首先引入了相通连续Domain及其连通完备化的概念,证明了相通连续Domain的连通完备化是连通连续Domain；利用主理想及连通闭集刻画了相通连续Domain ,得到相通完备偏序集是相通连续的当且仅当它的连通闭集格是一个完全分配格且它有一步闭包.最后考察了相通连续Domain 的连通完备化的范畴意义,得到连通连续Domain 范畴是相通连续Domain范畴的满的反射子范畴. 第四章研究连续Domain中极大点空间的若干性质.利用极大点空间的等价刻画证明了极大点空间的某些子空间,不交和,乘积空间,逆序列的逆极限,具有可数基的局部紧的Hausdorff 空间是极大点空间.特别是得出局部紧的Sober的第二可数空间带上Patch拓扑是极大点空间.最后给出了具有可数基的局部紧的Hausdorff空间的Domain-hull 是上空间. 第五章研究Z-连通集系统.首先引入了Z-连通集系统的概念,其次讨论了Z-连通连续偏序集的一系列性质,得到Z-连通完备偏序集是Z-连通连续的当且仅当它的Z-连通闭集格是一个完全分配格且它有一步闭包.最后证明Z-连通连续偏序集范畴对偶等价于完全分配格范畴的一个满子范畴.
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