当前位置：问答库＞考研试题

一、填空题

1． 一粒子的波函数【答案】

则粒子位于

间的几率为_____。

2． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

3．

一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与密顿量H 用N 或【答案】

、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

4． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

二、计算题

5． 设

是

（1）计算（2）计算

并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态

试证该态与的方向无关，即由不同得到

方向的单位矢量，在表象中

，

（3

）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴

（2）设的本征值为，本征矢为

则:

解久期方程将

，可得：

分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：

与对应的本征矢为：

表示为：

（3）利用矩阵直积的知识，可将

因此，对任意

6． （1）求算符【答案】⑴

即算符⑵则

得到的与态

的对易关系. （2）证明

只相差倍。得证

其中

不对易.

得证.

7． 已知（1）利用（2）求

在

的本征态

在

是泡利矩阵，表象中的表达式，求

在

可由

的本征态经绕x 轴转动

表象中的本征态矢

试由此

角的坐标变换而得，即

表象的表达式，并与（1）所得结果比较。

【答案】（1）易知：

设

本征矢

则

即

（2）由题意可得：

同理，可得：

可见，两种方法得到的本征态相同。

8． —个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】

在

表象下，

由

可以解得

：

其中

时态矢为：

分别为朝上和朝下时的波函数.

即t=0

时刻电子自选波函数

电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故

状态为的本征态，对应本征值为：

t ＞0时刻电子自旋波函数应为