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一、计算题

1． 求一回归直线y=A+Bx，使所有样本点小.

【答案】点

到直线y=A+Bx的垂直距离的平方为

如今要求A 与B ，使

使用微分法，并命其导数为零，可得如下两个方程：

由（*）式可得

并将其代入（**）式，可得

注意到恒等式

可将上式化为

使用相同的记号

则上式可表示为

整理后可得如下的二次方程：

由于判别式

故此二次方程有实根

.

这里是斜率，根据散点图上的上升趋势或下降趋势选择备表达式中的士号.

到该直线的垂直距离平方和最

2． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位：小时），其密度函数为

试求平均维修时间. 【答案】

故其平均维修时间为50小时.

3． 设

是来自密度函数为

的样本，

（1）求θ的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ的矩估计

它是否是相合估计？是否是无偏估计？

【答案】（1）似然函数为

显然L （θ）在示性函数为1的条件下是θ的严増函数，因此θ的最大似然估计为又

的密度函数为

故

故不是θ的无偏估计，但是θ的渐近无偏估计. 由于

且

这说明是θ的相合估计. （2）由

于

，所以

这给

出

，从而有

这说明既是θ的无偏估计，也是相合估计.

4． 设X , Y 独立同分布, 都服从标准正态分布N （0, 1）, 求

【答案】因为X , Y 独立, 都服从N （0, 1）, 所以

由于

所以

所以θ的矩估计

为

又

.

又因为

5． 设

【答案】

因为

为

，求及

的密度函数、数学期望与方差.

且

为严格单调增函数，其反函数

所以Y 的密度函数为

的可能取值范围为

这是对数正态分布为求其数学期望，采用线性变换可得

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求

施行相同的线性变换，可得

的密度函数之故.

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是

的密度函数之故. 由此得

6． 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X 的分布列；

（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有大号码，则X 的可能取值为3，4，5.

因为

所以

所以X 的分布列为

表

（2）由分布函数的定义知

1种等可能取法.X 为取出的3个球中的最

且当

时，

有