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一、填空题

1．

从

的基

故

2． 设A 是3

阶矩阵

【答案】1，1，1 【解析】由已知条件，有

是3维线性无关的列向量，

且

则矩阵A 的三个特征值是_____.

到基

的过渡矩阵为_____.

【答案】

【解析】设过渡矩阵为P ，

则

因为线性无关，

故矩阵

即

可逆. 记

那么由AP 二PB

得

因为

所以矩阵A 的特征值为1，1，1.

3．

已知方程组

【答案】

【解析】

所谓方程组

得到方程组

变换，有

那么方程组

因此矩阵B 的特征值1, 1, 1,

那么

k 为任意常数 与

与的公共解是_____.

的公共解，即这两个方程组解集合的交集，把的解就是

与

的公共解.

对方程组

与联立

的系数矩阵作初等行

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由于秩程组

的基础解系是

那么

与

的公共解是

：

为任意常数. 取

为自由变量，

令

代入求解得

所以，方

4． 已知

则秩_____.

【答案】2 【解析】由

而

是可逆矩阵，故

经初等变换矩阵的秩不变，易见

所以

二、选择题

5． 若均是n 阶非零矩阵，且AB=0, 则必有

A.1 B.2 C.n-1

D. 条件不够不能确定

【答案】A

【解析】若

A 是m ×n 矩阵，

B 是

n ×5矩阵，且AB=0,

则有 （1） B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解

；

⑵秩

由（1）知对于又因r （B ）

知有代数余子式又因

有非零解，从而秩即A 中有n-l 阶子式非零. 于是

故必有r （B ） =1.

（ ）

再根据（2）知

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关于r （A ）也可由下面公式确定.

因为

是

6．

设

（ ）。

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】B 项，由己知条件知解向量，个数不合要求，因此排除.

AC 两项，虽然都有四个解向量，但因为

说明解向量组均线性相关，因而也不是基础解系. D 项，

的基础解系由四个线性无关的解向量所构成，现在仅三个

是齐次线性方程组

的基础解系，

则

的基础解系还可以是

有

于是

那么再由

知

因此只能

因为知

线性无关，又因

均是

的解，

且解向量个数为4, 所以是基础解系.

7． 三阶矩阵A 的特征值全为零，则必有（ ）。

A. 秩r （A ）=0 B. 秩r （A ）=1 C. 秩r （A ）=2 D. 条件不足，不能确定