2018年中山大学中山医学院602高等数学(B)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设方阵A 满足
证明A 及A+2£都可逆，
并求
及
【答案】（1）先证A 可逆. 原式得AfA-
五也就是知A 是可逆的，
且（2）再证可逆. 由
即
同理，知A+2E可逆，
且
2． 判定下列二次型的正定性：
（1
）（2
）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1
阶主子式
3阶主子式，
即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2
阶主子式
知f 为正定二次型. 3．
设
【答案】
以
，
，c 与a 正交，且
左乘题设关系式，
得
求
因
正交，有
有
故
，3阶主子式，即
则
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
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得
而
4．
已知
是矩阵的一个特征向量
（
1）求参数a ，
b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义.
设P 所对应的特征值是A , 则由题设，
即
于是，
得到以
为未知数的线性方程组：
（
2）
A 不
能相似于对角阵. 理由是：
当
故
是A 的三重特征值. 但
没有
3个线性无关的解. 于是
，矩阵
A
对应于特征值
时. 容易求得矩阵A 的特征多项式
从而
故齐次方程
没有3
个线性无关的特征向量. 由方
阵相似于对角阵的充要条件知
，A 不能相似于一个对角阵.
5． 设为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对
f 的矩阵A 进行讨论
A
正定由
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
6． 问a 取什么值时下列向量组线性相关？
【答案】记
，则
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于是当a=-1或a=2时，detA=0,
即
知此时向量组
线性相关.
7． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：
（1
）
（2
）
【答案】（1）増广矩阵
据此，得原方程组的同解方程
取
得特解
取
得对应齐次方程基础解系
（2）增广矩阵
得同解方程组为
令
得特解
分别令，
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