● 摘要
关于平面Hamilton系统所对应Abel积分的研究有着深刻的理论意义和广泛的应用背景。目前，这方面的研究主要集中在弱Hilbert第十六问题和Hamilton系统周期环域内周期解的周期单调性问题。针对这些问题，本文利用微分方程定性理论和分支理论的方法，对几类三次Hamilton系统所对应Abel积分的代数结构进行了研究，并对其中一些系统所对应Abel积分的零点个数进行了估计。另外还对可分离变量Hamilton系统所对应的周期函数进行了研究。全文的主要内容概括如下：第一章首先给出了与本文相关的一些预备知识，然后介绍了本课题的研究背景、研究进展情况以及本文的主要工作内容。第二章给出了一类具有一个中心的三次Hamilton系统所对应Abel积分零点个数的一个上界。第三章研究了一类具有两个中心的三次Hamilton系统所对应的Abel积分，求出了它的六个生成元和生成元所满足的Picard-Fuchs方程。并利用常微分方程定性理论和Picard-Fuchs方程的性质，对其Abel积分的零点个数进行了估计。第四章首先给出了具有初等中心的完全对称三次Hamilton系统的分类，然后研究了这类系统所对应Abel积分的代数结构，最后对其中一类特殊系统所对应Abel积分零点个数的上界给出了一个估计。第五章研究了可分离变量Hamilton系统所对应周期函数的单调性。我们用两种方法给出了判定可分离变量Hamilton系统所对应周期函数为单调函数的几个充分条件，并用所得结果讨论了Volterra-Lotka系统和无阻尼、无强迫Duffing方程周期解周期的单调性.