● 摘要
本文在等价活动标架理论基础上，研究等价活动标架与传统李群理论新的结合点，提出一种改进的活动标架及微分不变量构造的新算法。该算法依托经典理论上的创新，融合计算机代数理论与符号计算系统的优势，运用Maple软件避免了复杂的人工高阶微分计算。以一个经典李伪群为例，验证了该算法在有限维李群及无限维李伪群作用上的普遍适用性。同时，本文进一步探讨活动标架理论与偏微分系统的精确解之间的关系，将基于活动标架理论的群叶状结构作为研究微分方程精确解的有效方法，并给出了具体的符号计算方法与步骤，最后用这个方法获得了1+1维非线性偏微分方程的群叶状结构的变量分离解。
本文的具体工作如下：
第一章简要介绍了活动标架的三个主要发展历程及近期国内外研究现状与成果，同时介绍了本文的主要工作。
第二章通过介绍流形、变换群、群作用、向量场的基本概念与相关定理，阐述了学习活动标架的预备知识，为更好地研究活动标架奠定了坚实的理论基础，同时有助于对第三、四章内容的理解。
第三章主要阐述了等价活动标架的核心思想及代数构造过程、微分不变量与联合不变量理论，同时以一些经典的变换群为例进行说明，从而使大家对活动标架理论有了基本的认识。
第四章首先对Maurer-Cartan形式、协标架与伪群做了必要介绍，重点介绍活动标架的新算法，并以一个经典李伪群为例验证算法的有效性与简洁性。
第五章探讨了微分不变量之间关系syzygy与活动标架的群叶状方法与计算机代数实现步骤，用这个方法得到一个1+1维偏微分方程的变量分离的新精确解。
第六章对全文工作作出总结，在本文基础上提出下一步需要研究的问题。