2017年浙江省培养单位宁波材料技术与工程研究所602高等数学(乙)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列积分：
【答案】（1）因为
原式
故
（交换积分次序）
由于
因此
原式
（2）因为
，故
（交换积分次序）
由于
（分部积分）
因此
原式
2． 用根值审敛法判定下列级数的收敛性:
其中
【答案】（1）因（2）因（3）因（4）
①当b
则
故级数收敛。 ，故级数发散。
发散，
又如
均为正数。 故级数收敛。 故级数收敛。 故级数收敛。
③当b=a时，级数的收敛性不能确定（例如
，
收敛）。
3． 计算下列曲面积分：
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
；
其
中
为
锥
面
的上侧； 的外侧。 ，
2为
，1和2在
又由于被积函数关于y 是偶函数，积分曲面
1和
2关于
zOx 面对称，故
由此得
（2）添加辅助曲面
所包围的空间闭区域上应用高斯公式得
，取上侧，则在由
和
1
于是
其中在计算
。
时，由对称性易知
故
从而得原式（3）添加辅助曲面所围成的空间闭区域
上应用高斯公式得
，取下侧，则在由
和
1
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