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一、填空题

1． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 2 设体系的状态波函数为如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

．量

的关系为_____。

【答案】

3． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

4． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

5． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。

【答案】

6． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

的整数倍；对称变换

二、选择题

7． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

8． 给出如下对易关系：

【答案】

9． 假定角动量平方算符的选择为（ ）

【答案】C

10．量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米

11．考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为

势阱范围为

则体系的基态能量是（ ）。

【答案】E 12．

【答案】

_____

_____。

的本征值分别为

和

如果

则可能是

本征值

三、证明题

13．证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵

表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。

14．（1）设 与pauli 算符对易，证明（2）试将【答案】（1）

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

四、计算题

15．设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用

于是

16．在【答案】

本征方程为：

即：

由此得：即：

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

可得即

表象中，求

是

的本征值和本征态，这里，

方向的单位矢。