2018年海南大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
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2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（二）.. 11 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（三）.. 19 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（四）.. 28 2018年海南大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（五）.. 35
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一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故 2．
已知
对角矩阵.
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
【答案】A 是实对称矩阵
，是二重根，
故
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必有两个线性无关的特征向量，于是
可得a=2.
此时
于是知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
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使或
1.
4．
设线性方程m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换
，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当
（4）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5．
已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得
A 的特征值时，阶方阵，故
是B 的特征值. 分别取
知
A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
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