2018年辽宁工程技术大学水土保持与荒漠化防治314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数. 2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
线性无关.
令
非零可知，是A 的个
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
3． 设线性方程
m
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
4．
设的所有矩阵.
即
时
此时方程组无解.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
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