2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研题库
● 摘要
一、简答题
1. 什么样的状态是定态,其性质是什么?
【答案】定态是能量取确定值的状态,其性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
2. 厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质?
【答案】本征值为实数,本征矢为正交、归一和完备的函数系。
3. 能级的简并度指的是什么?
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
4. 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。
5. 波函数是用来描述什么的?它应该满足什么样的自然条件?的物理含义是什么?
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数,除了应满足平方可积的条件之外,它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。
6. 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符?
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数,而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符,因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
7. 电子在位置和自旋表象下,波函数【答案】
利用
的几率密度;
8. 写出在【答案】
9. 写出测不准关系,并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
物理含义:若两个力学量不对易,则它们不可能同
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如何归一化?解释各项的几率意义。
进行归一化,其中
:
表示粒子在
|
处
表示粒子在处的几率密度。
表象中的泡利矩阵。
时有确定的测值。
10.非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上,试举出二个以上这样的基本假设,并简述之。
【答案】(1)微观体系的状态被一个波函数完全描述,从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
(2)力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量,则在量子力学中表示这个力学量的算符,由经典表示式中将动量换为算符数。
(3)将体系的状态波函数
用算符的本征函数展开:
则在
盔中测量力学量得到结果为
(4)体系的状态波函数满足薛定谔方程
其中是体系的哈密顿算符。
的几率是
得到结果在
范围内的几率是
得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
(5)在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 以上选三个作为答案。
二、证明题
11.(1)对于任意的厄米算符,证明其本征值为实数. (2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. (3)对于角动量算符
证明它是厄米算符,并且求解其本征方程.
因为存在
数
(2)证:因为而(3)因为
所以
即正交
而
所以
即为厄米算符。
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【答案】(1)证:对于厄米算符
所以
即本征值为实
具有周期性,
设本征方程为
其中为本征值,上式可改写为
易解出
C 为积分常数,可由归一化条
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制,
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
12.设力学量A 不显含时间t ,证明在束缚定态下,【答案】设束缚定态为
即有:
因A 不显含时间t , 所以
因而有:
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的,相应本征函
再利用归一化条件可得
三、计算题
13.假设一个定域电子(忽略电子轨道运动)在均匀磁场中运动,磁场B 沿z 轴正向,电子磁矩在均匀磁场中的势能:
表示;
(1)求定域电子在磁场中的哈密顿量,并列出电子满足的薛定谔方程:电子轨道运动,
此时T=0。
求t >0时,自旋的平均值。提示:
提示:忽略
这里
为电子的磁矩;
自旋用泡利矩阵
(2)假设t=0时,电子自旋指向x 轴正向,即
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