2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
目录
2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编（一） ... 2 2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编（二） . 11 2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编（三） . 21 2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编（四） . 30 2017年西北工业大学理学院826量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编（五） . 40
一、简答题
1． 波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。
2． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
3． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
的物理含义是什
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
4． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
5． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
6． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
7． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
8． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒
子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
9． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
10．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
二、证明题
11．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
所以
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
12．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
三、计算题
13．一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.
又在边界处应该满足连续条件故
由归一化条件有故对应能量为
14．若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）
【答案】解法一：
设总自旋
则:
其中g 为作用常数，和
分别为两个中子的自
旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数
而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数：
自旋交换反对称波函数：
显然
与
对易，二者有共同的本征态：