2017年西北师范大学物理与电子工程学院813量子力学(含原子物理)之量子力学导论考研仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1. 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理:若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合,即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
2.
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
3. 有人说“在只考虑库仑势场情况下,氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”,你是否同意这种说法, 简述理由。 【答案】不同意。因为
4. 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中,
为实函数,但
可以为复函数。 的对易关系.
为粒子可能处于的态,那么这些态的任意线性组合
定义电子的自旋算符,并验证它们
5. 厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质?
【答案】本征值为实数,本征矢为正交、归一和完备的函数系。
6. 什么是塞曼效应?什么是斯达克效应?
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象;斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
7. 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子,共同点是颗粒性,即是具有一定质量、电荷等属性的客体;不同点是经典粒子遵循经典决定论,沿确定轨道运动,微观粒子不遵循经典决定论,无确定轨道运动。 对于波,共同点是遵循波动规律,具有相干迭加性;不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量,它只是一种几
率波。
8. 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点?
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的,它们的对称性不随时间变化。
9. 已知为一个算符么正算符?
【答案】满足关系式(a )的为厄密算符,满足关系式(b )的为幺正算符。
10.如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时,问该力学量是否有确定的值? 【答案】是,
其确定值就是在本征态的本征值。
满足如下的两式问何为厄密算符?何为
二、证明题
11.粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
,(常数)
同理,可得
因此:
12.(1)对于任意的厄米算符,证明其本征值为实数. (2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. (3)对于角动量算符
证明它是厄米算符,并且求解其本征方程.
因为存在
数
(2)证:因为而(3)因为
所以
即正交
试证明的不确定关系
:
所以有:
【答案】(1)证:对于厄米算符
所以
即本征值为实
具有周期性,
而
所以
设本征方程为
其中为本征值,上式可改写为
易解出即为厄米算符。
C 为积分常数,可由归一化条
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制,
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的,相应本征函
再利用归一化条件可得
三、计算题
13.在动量表象中,写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中,线谐振子的哈密顿算符为:在动量表象中,该哈密顿算符为:
由于动量的本征函数为
故哈密顿算符的矩阵元为:
14.设一维简谐振子的初始(t=0)波函数为
为简谐振子的三个(n=0, 1,2)最低能量的定态波函数. 试求 (1)系数A = ? (2)t 时刻的波函数(3)t 时刻的能量平均值.
【答案】(1)由波函数的正交归一化条件有
其中