2017年华南师范大学心理学院813高等代数(数学)考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
第 2 页，共 38 页
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
考虑到 4． 若
【答案】C
是的一个特解，所以选C.
都是4维列向量，且4阶行列式
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
二、分析计算题
6． 设
求
的基与维数，其中
【答案】
设
得线性方程组
解得
其中则故
第 3 页，共 38 页
是自由未知量. 取其基础解系为
的生成元为
的基为
其维数为2.
7． 设为A 的复系数多项式，n 阶复矩阵A 的特征根都不是的零点. 试回答，
f （A ）为满秩矩阵，且f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式. 【答案】设
且A 的n 个特征值为所以f （A ）可逆. 又因为
其中
由凯莱定理，知
即f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式g （A ）. 8． V 及
同上题，试找出一个线性函数f , 使
. 就得到
9． 设
（1）
A 是一个
矩阵，定义
则f （A ）的n
个特征值为
由假设可知
【答案】可算出
（2）试求f （A ）. 【答案】（1）
10．证明
（1）如果
（2）
是正定二次型，那么
第 4 页，共 38 页