● 摘要
随着现代自然科学和技术的发展, 尤其是计算机技术的大量应用, 关于非线性现象的研究逐渐形成以孤子、混沌和分形为代表的非线性科学. 以力学中的非线性现象为研究对象的非线性力学在近三十年得到迅速发展, 它已涉及到许多学科, 在流体力学、天体力学、非线性振动力学、物理学、化学、生物学等领域中都有非常广泛的应用.当介质不均匀或边界不一致时, 变系数模型比常系数情形能够更加真实地刻画力学、物理或工程中的许多非线性现象, 因此变系数模型的研究受到广泛关注和高度重视, 涌现出大量描述实际问题的变系数非线性发展方程. 系数函数使得变系数非线性发展方程的研究面临巨大困难, 这使得变系数问题和不可积问题已经成为当今国际上的两大理论难点, 而兴起的作为现代科学计算标志的符号计算为变系数非线性发展方程的研究提供了一种全新有效的途径.在孤子现象和相关非线性发展方程的研究中, Painlevé 分析是一种直接的、系统的和行之有效的方法. 本文将常系数模型的 Painlevé 分析方法推广到变系数方程, 系统地研究非线性力学中三类重要的变系数模型: 变系数 Burgers 模型、变系数 Korteweg-de Vries (KdV) 模型和变系数非线性 Schrödinger 模型. 在对这三类变系数模型的研究中, 重点考察以下七种不同形式的变系数非线性发展方程: 一维变系数 Burgers 方程、广义二维变系数 Burgers 方程、带扰动和外力项的广义变系数 KdV 方程、带损耗和非均匀项的变系数 KdV 方程、不带外力项的变系数 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程、带外力项的变系数 KP 方程和变系数非线性 Schrödinger 方程. 这些模型还可以用于描述光纤通信、天体物理、声学、生物学、材料学等学科中的某些非线性现象.本文的内容包括这三类变系数模型的 Painlevé 性质的研究、自 Bäcklund 变换的研究、双线性形式的研究以及将变系数模型化为常系数模型的变换的研究. 主要的方法、结论及内容的具体安排为: 一、非线性力学中三类变系数模型的 Painlevé 性质与Painlevé 可积条件推广 Painlevé 性质的分析法, 利用符号计算, 得到上述七种变系数方程具有Painlevé 性质时系数函数应该满足的约束条件, 即 Painlevé 可积条件. 除带外力项的变系数 KP方程外, 给出的可积条件都是显式的. 带外力项的变系数 KP 方程的隐式条件可以化为 Riccati 方程. 上述结论表明: 针对不同的方程, 相应的系数函数在可积条件中的作用是不一样的, 比如变系数 KdV 方程的外力项在可积条件中不出现, 而变系数 KP 方程的外力项对可积条件有影响. 已有的相关结论可以作为这里所得结论的特殊情况.二、非线性力学中三类变系数模型的自 Bäcklund 变换与解析解推广 Painlevé 截断法, 利用符号计算, 得到上述七种变系数方程的自 Bäcklund 变换, 并通过所得到的 Bäcklund 变换求出原方程的新解析解, 包括孤子型解, 有理解和周期解. 为了考察系数函数对解的影响, 利用符号计算作出一些孤子型解的图形.三、非线性力学中三类变系数模型的双线性形式与多孤子型解推广 Painlevé 截断法, 利用符号计算, 得到其中五种变系数非线性发展方程的双线性形式, 并利用所得到的双线性形式首次求得原方程的多孤子型解. 为了考察系数函数对解的影响, 利用符号计算作出一些 N-孤子型解的图形.四、变系数模型变换到常系数模型的变换及其应用为了深入全面考察变系数方程, 这里讨论将变系数方程化为对应的常系数方程的变换的问题. 根据所得的变换以及常系数方程的性质和解, 可以得到原变系数方程的相应结果. 如果对应的常系数方程是完全可积的, 则变换存在的条件与原变系数方程的 Painlevé 可积条件是完全一致的, 而且相应的变换是可逆的. 上述性质表明这类变换与方程的Painlevé 可积之间存在着深刻的联系.作者希望本文所提供的结果, 如 Painlevé 可积条件以及各种形式的解析解, 尤其是孤子型解, 对理解本文所研究的非线性力学中的变系数模型的力学意义和数学意义都能发挥一定的作用. 同时希望本文所使用的方法对非线性力学中其他变系数模型的研究有一定的借鉴价值, 为获得变系数模型的合乎需求的孤子型解提供理论指导.